等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC

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等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；
（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE
（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．

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答案和解析

（1）过点C作CF⊥y轴于点F，

∴∠AFC=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°．
∵△ABC中是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，
∴∠ACF=∠BAO．
在△ACF和△ABO中，

∠AFC＝∠BAC

∠ACF＝∠BAO

AC＝AB

，

∴△ACF≌△ABO（AAS）
∴CF=OA=1，AF=OB=2
∴OF=1
∴C（-1，-1）；

（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
∴∠ACG=∠BAC=90°，
∴∠AGC+∠GAC=90°．
∵∠CAG+∠BAO=90°，
∴∠AGC=∠BAO．
∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠ADO=∠BAO，
∴∠AGC=∠ADO．
在△ACG和△ABD中

∠AGC＝∠ADO

∠ACG＝∠BAC

AC＝AB

∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=CD．
∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，
在△DCE和△GCE中，

DC＝GC

∠DCE＝∠GCE

CE＝CE

，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠G，
∴∠ADB=∠CDE；

（3）在OB上截取OH=OD，连接AH

由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．
∵∠ADH=∠BAO．
∴∠BAO=∠AHD．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABO=∠EBO，
∵∠AOB=∠EOB=90°．
在△AOB和△EOB中，