试求满足条件：x^4+x^3+x^2+x=y^2+y的整数对(x,y)

Question

试求满足条件：x^4+x^3+x^2+x=y^2+y的整数对(x,y)

Answer 1

x^4+x^3+x^2+x=y^2+y=>4(y^2+y)+1=4x^4+4x^3+4x^2+4x+1
=>(2y+1)^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+1
当x=0 y=0或者-1
当x=1时y^2+y=4,y不是整数
当x=-1时y^2+y=0=>y=0或者-1
当x=2时,y^2+y=30,y=5或者-6
当x=-2时,y^2+y=10,y不是整数
|x|>2时
(2x^2+x+1)^2=4x^4+4x^3+5x^2+2x+1
=4x^4+4x^3+4x^2+4x+1+x^2-2x
显然|x|>2时x^2-2x>0
=>4x^4+4x^3+4x^2+4x+12时(3x+1)(x+1)>0
=>4x^4+4x^3+4x^2+4x+1>(2x^2+x)^2
=>(2x^2+x)^2