如图，已知直线y=-2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式；

Question

如图，已知直线y=-2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．

（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令y=0，则-2x+8=0，解得x=4，
∴A（4，0），
令x=0，则y=8，
∴C（0，8）；
（2）由折叠可知：CD=AD，
设AD=x，则CD=x，BD=8-x，
由题意得，（8-x）²+4²=x²，
解得x=5，
此时AD=5，
∴D（4，5），
设直线CD为y=kx+8，
把D（4，5）代入得5=4k+8，解得k=-(3)/(4)，
∴直线CD的解析式为y=-(3)/(4)x+8；
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图1，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD=5，AP=BC=4，PD=BD=8-5=3，
由AD×PQ=DP×AP得：5PQ=3×4，
∴PQ=(12)/(5)，
∴x_P=4+(12)/(5)=(32)/(5)，把x=(32)/(5)代入y=-(3)/(4)x+8得y=(16)/(5)，
此时P（(32)/(5)，(16)/(5)）
③当点P在第二象限时，如图2，
同理可求得：PQ=(12)/(5)，
在RT△PCQ中，CQ=√(PC2-PQ2)=√(42-((12)/(5))2)=(16)/(5)，
∴OQ=8-(16)/(5)=(24)/(5)，
此时P（-(12)/(5)，(24)/(5)），
综上，满足条件的点P有三个，分别为：（0，0），（(32)/(5)，(16)/(5)），（-(12)/(5)，(24)/(5)）．