如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4，D是AC边上一动点（不与A、C点重合），EF垂直平分BD，分别交AB、BC于点E、F，设CD=x，AE=y．（1）求证：△AED∽△CDF；（2）求y关于x的函数解析式．并写出定

Question

如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4，D是AC边上一动点（不与A、C点重合），EF垂直平分BD，分别交AB、BC于点E、F，设CD=x，AE=y．
（1）求证：△AED∽△CDF；
（2）求y关于x的函数解析式．并写出定义域；
（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，当EH=1时，求线段CD的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，FB=FD．
在△BEF和△DEF中，

BE=DE

FB=FD

EF=EF

，
∴△BEF≌△DEF（SSS），
∴∠EBF=∠EDF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠ADE+∠FDC=180°-60°=120°．
又∵∠AED+∠ADE=180°-60°=120°，
∴∠AED=∠FDC，
∴△AED∽△CDF；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∵CD=x，AE=y，
∴AD=4-x，ED=EB=4-y．
∵△AED∽△CDF，
∴(ED)/(DF)=(AD)/(CF)=(AE)/(CD)，
∴(4-y)/(DF)=(4-x)/(CF)=(y)/(x)，
∴DF=(4x-xy)/(y)，CF=(4x-x2)/(y)．
∵DF+CF=BF+CF=BC=4，
∴(4x-xy)/(y)+(4x-x2)/(y)=4，
整理得：y=(8x-x2)/(4+x)（0（3）如图2，

在Rt△AHD中，
∵AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°，
∴cosA=(AH)/(AD)=(y-1)/(4-x)=(1)/(2)，
∴y=3-(1)/(2)x，
∴(8x-x2)/(4+x)=3-(1)/(2)x，
整理得：x²-14x+24=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
∵0∴x=2，
即CD的长为2．