已知正实数ab满足9a^2+b^2=1求ab/(3a十b)

Question

已知正实数ab满足9a^2+b^2=1求ab/(3a十b)

Answer 1

1＝9a²+b²
→2＝(1²+1²)(9a²+b²)
≥(3a+b)²
→3a+b≤√2.
此时取等条件为：b＝3a.
其次，由均值不等式得
ab＝(1/3)·3a·b
≤(1/3)·[(3a+b)/2]²
＝(3a+b)²/12.
取等条件也是为：b＝3a.
∴ab/(3a+b)
＝[(3a+b)²/12]/(3a+b)
＝(3a+b)/12
≤√2/12.
∴b＝3a且9a²+b²＝1,
即a＝√2/6, b＝√2/2时，
所求最大值为：√2/12。