等边三角形ABC中,D是BC边上的一点,且BD=2CD,P是AD上的一点.∠CPD=∠ABC,求证：BP⊥AD.提示：（用相似）,

Question

等边三角形ABC中,D是BC边上的一点,且BD=2CD,P是AD上的一点.∠CPD=∠ABC,求证：BP⊥AD.
提示：（用相似）,

Answer 1

证明：做AE⊥BC,垂足为E,.(由角PDC=角CPA,∠CPD=∠ABC=∠ACB=60度）可证得三角形CPD相似于三角形ACD.所以：CD:AD=DP:CD.
由AE⊥BC AB=AC
得：BE=CE=1/2BC=1/2(BD+CD)=1/2乘3CD=1.5CD,
所以DE=BD-BE=2CD-1.5CD=0.5CD,BD=2CD
DP:ED=DP:0.5CD=2DP:CD,
BD:AD=2CD:AD
又因为CD:AD=DP:CD.
所以2CD:AD=2DP:CD.
即DP:ED=BD:AD
在三角形BPD和三角形AED中,
∠PDB=∠EDP DP:ED=BD:AD
所以三角形BPD相似于三角形AED
所以角BPD=角AED=90度.