如图1，边长为6的等边△ABC中，点D沿射线AB方向由A向B运动，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，连结DF交射线AC于点G．（1）当点D运动到AB的中点时，求AE的长；

Question

如图1，边长为6的等边△ABC中，点D沿射线AB方向由A向B运动，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，连结DF交射线AC于点G．

（1）当点D运动到AB的中点时，求AE的长；
（2）当DF⊥AB时，求AD的长及△BDF的面积；
（3）小明通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图2的情况时，EG的长始终等于AC的一半吗？若改变，说明理由；若不变，请证明EG等于AC的一半．

Answer 1

（1）当D为AB中点时，AD=3，
在RT△ADE中，∠A=60°，∠ADE=30°，
∴AE=AD•sinA=(3)/(2)．
（2）设AD=X，则CF=X，
当DF⊥AB时，RT△BDF中，∠F=30°，
∴BF=2BD，6+X=2（6-X），
解得X=2，∴AD=2．
∴BD=6-2=4，
DF=BD•tanB=4√(3)．
∴△BDF的面积为(1)/(2)BD•DF=8√(3)．
（3）过F作FH⊥AC，

在△ADE和△CFH中，

∠AED＝∠FHC＝90°

∠A＝∠FCH

AD＝CF

，
∴△ADE≌△CFH（AAS），
∴DE=FH，AE=CH，
∴AC=EH，
在△GDE和△GFH中，

∠DEG＝∠FHG

∠DGE＝∠FGH

DE＝FH

，
∴△GDE≌△GFH（AAS），
∴EG=GH，
∴EG=(1)/(2)EH=(1)/(2)AC．