如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连OC，过O作OF⊥BC于F．（1）试判断∠AOB与∠COF有何数量关系，并证明你的结论；（2）若∠ACB=60°，探究OE与OD的数量关系

Question

如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，
连OC，过O作OF⊥BC于F．
（1）试判断∠AOB与∠COF有何数量关系，并证明你的结论；
（2）若∠ACB=60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∠AOB+∠COF=180°，
证明：过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC，
∴OM=ON，ON=OF，
∴OM=OF，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∴∠OCF=(1)/(2)∠ACB，
∵OF⊥BC，
∴∠CFO=90°，
∴∠COF+∠OCF=90°，
∴∠COF=90°-∠OCF，①
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠OAB=(1)/(2)∠CAB，∠OBA=(1)/(2)∠CBA，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）
=180°-(1)/(2)（∠CAB+∠CBA）
=180°-(1)/(2)（180°-∠ACB）
=90°+(1)/(2)∠ACB
=90°+∠OCF，②
由①②得：∠AOB+∠COF=90°+∠OCF+90°-∠OCF=180°；

（2）OE=OD，
证明：∵∠ACB=60°，
∴由（1）知：∠AOB=90°+(1)/(2)∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠EOD=∠AOB=120°，
∵OM⊥AC．OF⊥BC，
∴∠OME=∠OFD=90°，∠CMO=∠CFO=90°，
∴∠MOF=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠MOE=∠DOF=120°-∠MOD，
在△EOM和△DOF中

∠OME＝∠OFD

∠MOE＝∠DOF

OM＝OF

∴△EOM≌△DOF（AAS），
∴OE=OD．