已知矩形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，－3）．动点P从O出发，以每秒1个单位的速度，沿射线OB方向运动．设运动时间为t秒．（1）求P点的坐标（用含t的代数式表示）；（2）如图

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已知矩形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，－3）．动点P从O出发，以每秒1个单位的速度，沿射线OB方向运动．设运动时间为t秒．
（1）求P点的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）如图，以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2，且边PQ⊥y轴．设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S，当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时，运动停止．
①当t＜4时，求S与t之间的函数关系式；
②当t＞4时，设直线MQ、MN分别交矩形OABC的边BC、AB于D、E，问：是否存在这样的t，使得△PDE为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

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答案和解析

（1）（

，－

）；（2）①当0＜t≤

时，S=

t² ；当

＜t≤

时，S=2×

；当

＜t＜4时，S=4；②t=5或

试题分析：（1）设PN与x轴交于点D，先由矩形的性质得出∠OAB=90°，在Rt△OAB中运用勾股定理求出OB=5，再由PD∥AB，得到△OPD∽△OBA，根据相似三角形对应边成比例得出OD=

，PD=

，即可确定P点的坐标；
（2）①分三种情况进行讨论：（i）当0＜t≤

时，设PQ与y轴交于点E，则S=S矩形ODPE=OD•PD；（ii）当

＜t≤

时，设PN与x轴交于点D，QM与x轴交于点F，则S=S矩形PQFD=PQ•PD；（iii）当

＜t＜4时，S=S正方形PQMN；
②分三种情况进行讨论：（i）当4＜t≤5时，根据三角形外角的性质得出∠DPE＞∠DBE=90°，则△PDE不可能为直角三角形；（ii）当t=5时，∠DPE=∠DBE=90°，此时，△PDE为直角三角形；（iii）当t＞5时，由于∠DPE＜∠DBE=90°，则当△PDE为直角三角形时，可能∠PDE=90°或者∠PED=90°．若∠PDE=90°，根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出关于t的方程，解方程即可；若∠PED=90°，则△PNE∽△EMD，根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME，得出PQ：DQ=DM：ME，列出关于t的方程，解方程即可．
试题解析：（1）P（

，－

）
（2）①当0＜t≤

时，S=

t²
当

＜t≤

时，S=2×

当

＜t＜4时，S=4
②当QM运动到AB位置时，恰好无公共部分，

＜4＋2，即t＜