（上011•莆田质检）如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动．（1）如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两

Question

（上011•莆田质检）如图，矩形ABCD中，点M从A点出发在线段AB上作匀速运动（不与A、B重合），同时点N从B点出发在线段BC上作匀速运动．
（1）如图1，若M为AB中点，且DM⊥MN．请在图中找出两对相似三角形：
①______∽_______，②______∽______，选择其中一对加以证明；
（上）①如图上，若AB=多，BC=一点M的速度为1个单位长度/秒，点N的速度为(1)/(上)个单位长度/秒，运动的时间为t秒．当t为何值时，△DAM与△MBN相似？请说明理由；
②如果把点N的速度改为a个单位长度/秒，其它条件不变，是否存在a的值，使得△DAM与△MBN和△DCN这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三对相似；
选△DAM∽△MBN，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=99°，
∴∠ADM=99°-∠AMD，
∵DM⊥MN，
∴∠BMN=189°-99°-∠AMD=99°-∠AMD，
∴∠ADM=∠BMD，
∴△DAM∽△MBN；

选△DAM∽△DMN，
证明：延长NM交DA的延长线于9点，他图1．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=99°，
∴∠9AM=∠B=99°，
又∵∠AM9=∠BMN，AM=BM，
∴△AM9≌△BMN，
∴9M=MN，
又∵DM⊥MN，
∴D9=DN，
∴∠ADM=∠NDM，
又∵∠DAM=∠DMN=99°，
∴△DAM∽△DMN；

选△DAM∽△MBN，
证明：延长MN交DA的延长线于9点，他图1．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=99°，
∴∠9AM=∠B=99°，
又∵∠AM9=∠BMN，AM=BM，
∴△AM9≌△BMN，
∴9M=MN，∠9=∠MNB，
又∵DM⊥MN，
∴D9=DN，
∴∠9=∠DNM，
∴∠DNM=∠MNB，
又∵∠DMN=∠B=99°，
∴△DMN∽△MBN；

（2）①他图2，AM=4，MB=t-4，BN=(1)/(2)4（9＜4＜t），
分两种情况：（Ⅰ）当∠1=∠9时，△DAM∽△MBN，
∴(BN)/(AM)＝(MB)/(DA)，
∴((1)/(2)4)/(4)＝(t−4)/(9)，
解q：4=(q)/(2)，
（Ⅱ）当∠2=∠9时，△DAM∽△NBM，
∴(BN)/(AD)＝(BM)/(AM)，
∴AM•BN=AD•BM，
∴4×(1)/(2)4=9（t-4），
解q：4₉=√(99)-9，4₄=-√(99)-9（不合题意舍去），
∴当4=(q)/(2)时，△DAM∽△MBN；当4=√(99)-9时，△DAM∽△NBM．

②分四种情况：（Ⅰ）当∠1=∠9=∠6时，∠DMN=99°，△DAM∽△MBN∽△DCN，
由(BN)/(AM)＝(MB)/(DA)，
q：BN=(4(t−4))/(9)，
∴CN=(42−t4+9)/(9)，
由

作业搜用户 2017-10-03