试证：如果A是正定矩阵,那么A-1和A*也是正定矩阵

Question

试证：如果A是正定矩阵,那么A-1和A*也是正定矩阵

Answer 1

设A^(-1)有特征值λ,α是对应于特征值λ的A^(-1)的特征向量,那么A^(-1)α=λα,
因为A正定,所以A的所有特征大于0,即可推出A可逆以及λ≠0,
对A^(-1)α=λα两边左乘A,然后把λ除过来,可知α/λ=Aα,1/λ是A的特征值,而由于A正定,1/λ>0,故λ>0,A^(-1)也正定.
设A*有特征值λ,α是对应于特征值λ的A*的特征向量,那么A*α=λα,同上面一样A可逆=>A*可逆,等式左乘A得到AA*α=λAα => |A|α=λAα => Aα=(|A|/λ)α => |A|/λ是A特征值 => |A|/λ >0 => λ>0