若a，b，c是正数，解方程x-a-bc+x-b-ca+x-c-ab=3

Question

若a，b，c是正数，解方程(x-a-b)/(c)+(x-b-c)/(a)+(x-c-a)/(b)=3

Answer 1

解法1、原方程两边乘以abc，
得到方程：ab（x-a-b）+bc（x-b-c）+ac（x-c-a）=3abc，
移项、合并同类项得：
ab[x-（a+b+c）]+bc[x-（a+b+c）]+ac[x-（a+b+c）]=0，
因此有：[x-（a+b+c）]（ab+bc+ac）=0，
因为a＞0，b＞0，c＞0，
所以ab+bc+ac≠0，
所以x-（a+b+c）=0，
即x=a+b+c为原方程的解；
解法2、将原方程右边的3移到左边变为-3，
再拆为三个“-1”，
并注意到：(x-a-b)/(c)-1=(x-a-b-c)/(c)，
其余两项做类似处理，
设m=a+b+c，
则原方程变形为：(x-m)/(c)+(x-m)/(a)+(x-m)/(b)=0，
所以：（x-m）（(1)/(c)+(1)/(a)+(1)/(b)）=0，
∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴(1)/(c)+(1)/(a)+(1)/(b)≠0，
∴x-m=0，
即：x-（a+b+c）=0，
所以x=a+b+c为原方程的解．