已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，a＞0，b＞0．（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；（2）若a：b=2：3，且2x1-x2=2，求a，b的值；（3）在（2）的条件下，二次函数y=x2+2ax+b2的图

Question

已知关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若a：b=2：√(3)，且2x₁-x₂=2，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数y=x²+2ax+b²的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D．若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x-y的最大值．

Answer 1

（1）∵关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实数根，
∴△=（2a）²-4b²≥0，
有a²-b²≥0，
（a+b）（a-b）≥0．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，a-b≥0．
∴a≥b．
（2）∵a：b=2：√(3)，
∴设a＝2k，b＝√(3)k．
解关于x的一元二次方程x²+4kx+3k²=0，得x=-k或-3k．
当x₁=-k，x₂=-3k时，由2x₁-x₂=2得k=2．
当x₁=-3k，x₂=-k时，由2x₁-x₂=2得k＝−(2)/(5)（不合题意，舍去）．
∴a＝4，b＝2√(3)．
（3）当a＝4，b＝2√(3)时，
二次函数y=x²+8x+12与x轴的交点坐标分别为A（-6，0）、C（-2，0），
与y轴交点坐标为B（0，12），顶点坐标D为（-4，-4）．
设z=3x-y，则y=3x-z．
画出函数y=x²+8x+12和y=3x的图象，若直线y=3x平行移动时，如图
可以发现当直线经过点C时符合题意，此时最大z的值等于-6