一个实数a,a的一次方+a的二次方+a的三次方+...+a的n次方无限接近于什么数

Question

一个实数a,a的一次方+a的二次方+a的三次方+...+a的n次方无限接近于什么数

Answer 1

这是一个高等数学中无穷级数的问题.
无限接近于什么数,专业术语叫收敛；
该级数的收敛性和a的取值有关；
先求它的前n项和,
当a=0,是Sn=0,是常数,收敛于0；
当a=1,时Sn=n,发散的,不收敛于任何数；
当a=-1,时,该数列是-1,1,-1,1,……是跳跃的,同样发散,
当a不等于0,1,-1,时
Sn=(a-a^(n+1))/1-a,
现在对Sn当n→+∞时,求极限.
当a的绝对值大于1时,极限不存在；
当a的绝对值小于1时,极限为a/(1-a)
综上：
当a的绝对值大于等于1时,发散；
当a的绝对值小于1时,收敛于a/(1-a).