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从1至2000这2000个数中最多能选出多少个数,使得任何两个数的差既不等于4也不等于7?
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从1至2000这2000个数中最多能选出多少个数,使得任何两个数的差既不等于4也不等于7?
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答案和解析
先证明连续的11个数中符合条件的数{差非4非7}最多有5个,设为n+1,n+2,…,n+11,显然的任意两个数的差与n无关,这样命题等价于证明:1,2,…,11中符合条件的数最多5个,分组为[1,5,9],[2,6,10],[3,7],[4,8,11]则前三组中每组最多取1个,最后一组最多取2个,一共最多取5个,同样的连续的9个数符合条件的最多是5个,分组为[1,5],[2,6],[3,7],[4,8],[9]显然的最多取5个,对于1,2,…,1989,分组为[1,2,…,11],[12,13,…,22],…,[1970,1971,…,1980],[1992,1995,…,2000],有前面的结论知道前面的181组每组最多取5个数,最后的一组最多取5个,一共最多取181×5+5=910,下面构造实例,为方便某数不取时用0代替他的位置,有10040670900[12]00[15]0[17][18]0[20]00[23]00[26]0[28][29]0[31]00[34]00[37]0[39][40]0[42]00,…,[1992]00[1995]0[1997][1998]0[2000]中间的省略了,它们与1到44的排布是同样的具有周期性,显然该数列符合要求.
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