已知三棱锥S-ABC的底面为正三角形,侧面是全等的等腰三角形,三棱锥内有一个三棱柱,三棱柱的底面也为正三角形,侧面全是全等的矩形.三棱柱的一底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底

Question

已知三棱锥S-ABC的底面为正三角形,侧面是全等的等腰三角形,三棱锥内有一个三棱柱,三棱柱的底面也为正三角形,侧面全是全等的矩形.三棱柱的一底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在三棱锥的底面上.若三棱锥的高为15 ,底面边长为12 三棱柱的侧面积为120 .
1.求三棱柱的高 2.求三棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积之比 .

Answer 1

设三棱柱上底DE=EF=FG长为a,三棱锥高SH为15,
所以根据相似（相似定理）
a:12=SG:15,算得SG为1.25a,
所以三棱柱高GH=15-1.25a,
因为三棱柱侧面积为120,
所以
S=120=a乘以（15-1.25a）乘以3,
解得a=4,或a=8,
所以
三棱柱的高GH=10,或GH=5 
侧面积比等于相似比的平方
相似比为4：12或者8：12,
所以面积比为
1：9 或者4：9