求不定方程29a＋30b＋31c=2196的正整数解

Question

求不定方程29a＋30b＋31c=2196的正整数解

Answer 1

29a＋30b＋31c=30a-a+30b+30c+c=30(a+b+c)-a+c=2196
30(a+b+c)=2196+a-c
a+b+c=(2190+6+a-c)/30=73+(6+a-c)/30
因为a,b,c均为正整数
且29a=2196-30b-31c 当b=c=1时 a＜74
30b=2196-29a-31c 当a=c=1时 b＜73
31c=2196-29a-30b 当a=b=1时 c＜69
6+a-c是30的倍数
设 6+a-c=30k,(k=0,1,2,3,.)
1)当k=0时,6+a-c=0时,c=6+a
则a+b+6+a=73
2a+b=67 b为奇数
b=1时 a=33 c=39
b=3时 a=32 c=38
.
b=65 a=1 c=7
2)当k=1时,6+a-c=30时,c=a-24 a＞24
则a+b+a-24=73+1
2a+b=98 b为偶数
b=2时 a=48 c=24
b=4时 a=47 c=23
.
b=48 a=25 c=1
3)当k=2时,6+a-c=60时,c=a-54 74＞a＞54
则a+b+a-54=73+2
2a+b=129 b为奇数
b=1时 a=64 c=10
b=3时 a=63 c=9
.
b=19 a=55 c=1
4)当k=3时,6+a-c=90时,c=a-84,不合题意
当k＞3时,易得方程不成立
所以 k=0,1,2
不定方程29a＋30b＋31c=2196的正整数解
为上面的（1）（2 ）（3）