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在△ABC中,∠A、B、C所对的边分别是a、b、c,且满足a2-2bccosA=(b+c)2(1)求∠A的大小;(2)若a=3,求△ABC周长的取值范围.
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在△ABC中,∠A、B、C所对的边分别是a、b、c,且满足a2-2bccosA=(b+c)2
(1)求∠A的大小;
(2)若a=3,求△ABC周长的取值范围.
(1)求∠A的大小;
(2)若a=3,求△ABC周长的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由余弦定理得:cosA=
,即b2+c2-a2=2bccosA,
代入已知等式得:a2-b2-c2+a2=b2+2bc+c2,即b2+c2-a2=-bc,
∴cosA=
=-
,
则∠A=120°;
(2)∵a=3,cosA=-
,
∴由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,即9=b2+c2+bc=(b+c)2-bc≥(b+c)2-
=
,
再由b+c>a=3得到:3<b+c≤2
,
则△ABC周长a+b+c的范围为6<a+b+c≤2
+3.
b2+c2−a2 |
2bc |
代入已知等式得:a2-b2-c2+a2=b2+2bc+c2,即b2+c2-a2=-bc,
∴cosA=
b2+c2−a2 |
2bc |
1 |
2 |
则∠A=120°;
(2)∵a=3,cosA=-
1 |
2 |
∴由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,即9=b2+c2+bc=(b+c)2-bc≥(b+c)2-
(b+c)2 |
4 |
3(b+c)2 |
4 |
再由b+c>a=3得到:3<b+c≤2
3 |
则△ABC周长a+b+c的范围为6<a+b+c≤2
3 |
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