在△ABC中，点D是AB边上一点（不与AB重合），AD=kBD，过点D作∠EDF+∠C=180°，与CA、CB分别交于E、F．（1）如图1，当DE=DF时，求ACBC的值．（2）如图2，若∠ACB=90°，∠B=30°，DE=m，求DF的长（用含k

Question

在△ABC中，点D是AB边上一点（不与AB重合），AD=kBD，过点D作∠EDF+∠C=180°，与CA、CB分别交于E、F．
（1）如图1，当DE=DF时，求(AC)/(BC)的值．
（2）如图2，若∠ACB=90°，∠B=30°，DE=m，求DF的长（用含k，m的式子表示）

Answer 1

如图1，连接CD，
∵∠EDF+∠C=180°，
∴D，E，C，F四点共圆，
∵DE=DF，
∴∠DCE=∠DCF，
根据正弦定理得(AD)/(sin∠ACD)=(AC)/(sin∠ADC)   ①，
(BD)/(sin∠DCB)=(BC)/(sin∠BDC)，
∴(BD)/(sin∠ADC)=(BC)/(sin∠BDC)，②，
∵∠ADC=180°-∠BDC，
∴sin∠ADC=sin∠BDC，
①÷②d得，(AD)/(BD)=(AC)/(BC)，
∵AD=kBD，
∴(AC)/(BC)=k；

（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
根据正弦定理得：(AD)/(sin∠DEA)=(DE)/(sin∠A)=(DE)/((√(3))/(2))   ③，(BD)/(sin∠DFB)=(DF)/(sin∠B)=(DF)/((1)/(2))，④，
由（1）知D，E，C，F四点共圆，
∴∠DEA+∠DFB=180°，
∴sin∠DEA=sin∠DFB，④÷③得：(√(3)DF)/(DE)=(BD)/(AD)，
∴DF=(√(3)DE)/(3)•(BD)/(AD)，
∵AD=kBD，DE=m，
∴DF=(√(3)m)/(3k)．