已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE：AB=3：5，若CE=2，cos∠ACD=45，求tan∠AEC的值及CD的长．

Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE：AB=3：5，若CE=√(2)，cos∠ACD=(4)/(5)，求tan∠AEC的值及CD的长．

Answer 1

在Rt△ACD与Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠ACD，
∴cos∠ABC＝cos∠ACD＝(4)/(5)
在Rt△ABC中，(BC)/(AB)＝(4)/(5)
令BC=4k，AB=5k，则AC=3k
由BE：AB=3：5，知BE=3k
则CE＝k，且CE＝√(2)，则k＝√(2)，AC＝3√(2)．
∴Rt△ACE中，tan∠AEC＝(AC)/(CE)＝3，
∵Rt△ACD中，cos∠ACD＝(CD)/(AC)＝(4)/(5)，
∴CD＝(12)/(5)√(2)．