（2014•浦东新区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，sinB=45，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q．（1）求AG的长；（2）当∠APQ=9

Question

（2014•浦东新区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，sinB=(4)/(5)，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q．
（1）求AG的长；
（2）当∠APQ=90°时，直线PG与边BC相交于点M．求(AQ)/(MQ)的值；
（3）当点Q在边AC上时，设BP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

Answer 1

（1）在△ABC中，
∵AB=AC，点G是△ABC的重心，
∴BD=DC=(1)/(2)BC，
∴AD⊥BC．
在Rt△ADB中，
∵sinB=(AD)/(AB)=(4)/(5)，
∴(BD)/(AB)=(3)/(5)．
∵BC-AB=3，
∴AB=15，BC=18．
∴AD=12．
∵G是△ABC的重心，
∴AG=(2)/(3)AD=8．
（2）在Rt△MDG，
∵∠GMD+∠MGD=90°，
同理：在Rt△MPB中，∠GMD+∠B=90°，
∴∠MGD=∠B．
∴sin∠MGD=sinB=(4)/(5)，
在Rt△MDG中，∵DG=(1)/(3)AD=4，
∴DM=(16)/(3)，
∴CM=CD-DM=(11)/(3)，
在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠QCM=∠CDA+∠DAC=90°+∠DAC，
又∵∠QGA=∠APQ+∠BAD=90°+∠BAD，
∴∠QCM=∠QGA，
又∵∠CQM=∠GQA，
∴△QCM∽△QGA．
∴(AQ)/(MQ)=(AG)/(MC)=(24)/(11)．
（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF．
∵BE∥AD，∴(AP)/(BP)=(AG)/(BE)，即(15−x)/(x)=(8)/(BE)，
∴BE=(8x)/(15−x)．
同理可得：(AQ)/(QC)=(AG)/(CF)，即(y)/(15−y)=(8)/(CF)，
∴CF=(8(15−y))/(y)．
∵BE∥AD∥CF，BD=CD，
∴EG=FG．
∴CF+BE=2GD，即(8(15−y))/(y)+(8x)/(15−x)=8，
∴y=(75−5x)/(10−x)，