（2014•杨浦区二模）已知AM平分∠BAC，AB=AC=10，cos∠BAM=45．点O为射线AM上的动点，以O为圆心，BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）．（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长

Question

（2014•杨浦区二模）已知AM平分∠BAC，AB=AC=10，cos∠BAM=(4)/(5)．点O为射线AM上的动点，以O为圆心，BO为半径画圆交直线AB于点E（不与点B重合）．
（1）如图（1），当点O为BC与AM的交点时，求BE的长；
（2）以点A为圆心，AO为半径画圆，如果⊙A与⊙O相切，求AO的长；
（3）试就点E在直线AB上相对于A、B两点的位置关系加以讨论，并指出相应的AO的取值范围；

Answer 1

（1）∵AM平分∠BAC，AB=BC，
∴AM⊥BC，
∵cos∠BAM=(4)/(5)，AB=10，
∴cos∠B=(3)/(5)，BO=6，AO=8，
作OH⊥AE，
∵O为圆心，
∴BH=EH，
在Rt△BOH中，(BH)/(BO)=cosB，
∴BH=6×(3)/(5)=(18)/(5)，
∴BE=2BH=(36)/(5)．
（2）∵⊙A与⊙O相切，AO为⊙A半径，
∴⊙A与⊙O只可能相内切，且⊙A在⊙O的内部，
∴OA=OB-OA，
∴OB=2OA，
设OA=x，则OB=2x，
作 BP⊥AM，则AP=8，BP=6，OP=8-x，
在Rt△BPO中，OP²+BP²=OB²，即（8-x）²+6²=4x²，
∴3x²+16x-100=0，
∴x=(−8±2√(91))/(3)，（负舍），
∴OA=x=(−8+2√(91))/(3)．
（3）过AB中点作AB的垂线交AM于点O₁，可得AO₁=(25)/(4)，
过B作AB的垂线交AM于点O₂，可得AO₂=(25)/(2)，
当0≤AO＜(25)/(4)时，点E在BA的延长线上；
当(25)/(4)≤AO＜(25)/(2)时，点E在线段AB上；
当AO＞(25)/(2)时，点E在AB的延长线上．