（2014•仙桃）如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点

Question

（2014•仙桃）如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点．
（1）如图②，△ABC中，若AB=BC，且∠ABC=90°，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；
（2）如图③，△ABC中，若AB=BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；
（3）如图④，△ABC中，若AB：BC=m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）EM=EN．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图②所示．

则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，点E为AC中点，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．

（2）EM=EN仍然成立．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图③所示．

则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，点E为AC中点，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．

（3）线段EM与EN满足关系：EM：EN=n：m．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图④所示．

则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵∠HEM=∠GEN，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM∽△GEN．
∴EM：EN=EH：EG．
∵点E为AC的中点，
∴S_△AEB=S_△CEB．
∴(1)/(2)AB•EH=(1)/(2)BC•EG．
∴EH：EG=BC：AB．
∴EM：EN=BC：AB．
∵AB：BC=m：n，
∴EM：EN=n：m．