如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB上，求证：S△PQRS△ABC＞29．

Question

如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB上，求证：(S△PQR)/(S△ABC)＞(2)/(9)．

Answer 1

证明：作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，
∴RH∥CL，
∴(AR)/(AC)＝(RH)/(CL)，
则(S△PQR)/(S△ABC)=(PQ•RH)/(AB•CL)=(PQ•AR)/(AB•AC)，
不妨设△ABC的周长为1，则PQ=(1)/(3)，AB＜(1)/(2)，
∴(PQ)/(AB)＞(2)/(3)．
∵AP≤AP+BQ=AB-PQ＜(1)/(2)−(1)/(3)＝(1)/(6)，
∴AR=(1)/(3)-AP＞(1)/(3)-(1)/(6)＝(1)/(6)，
又AC＜(1)/(2)，从而(AR)/(AC)＞(1)/(3)，
∴(S△PQR)/(S△ABC)＞(2)/(3)×(1)/(3)＝(2)/(9)，
∴(S△PQR)/(S△ABC)＞(2)/(9)．