如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接BE、CE．（1）若a=5，sin∠ACB=513，解答下列问题：①填空：b=；②当BE⊥AC时，求

Question

如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接BE、CE．

（1）若a=5，sin∠ACB= (5)/(13)，解答下列问题：
①填空：b=___；
②当BE⊥AC时，求出此时AE的长；
（2）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，求a，b应满足什么条件，并求出此时x的值．

Answer 1

（1）①∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°，
∵AB=a=5，sin∠ACB=(5)/(13)，
∴(AB)/(AC)=(5)/(13)，
∴AC=13，
∴BC=√(AC2-AB2)=12，
∴b=12；
故答案为：12；
②如图1，∵BE⊥AC，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
又∵∠BAE=∠ABC=90°，
∴△AEB∽△BAC，
∴(AE)/(AB)=(AB)/(BC)，
即(AE)/(5)=(5)/(12)，
∴AE=(25)/(12)；

（2）∵点E在线段AD上的任一点，且不与A、D重合，
∴当△ABE与△BCE相似时，则∠BEC=90°，
当△BAE∽△CEB（如图2）
∴∠1=∠BCE，
又∵BC∥AD，
∴∠2=∠BCE，
∴∠1=∠2，
又∵∠BAE=∠EDC=90°，
∴△BAE∽△EDC，
∴(AE)/(DC)=(AB)/(DE)，
即(x)/(a)=(a)/(b-x)，
∴x²-bx+a²=0，
即(x-(b)/(2))2=(b2-4a2)/(4)，
当b²-4a²≥0，
∵a>0，b>0，∴b≥2a，
即b≥2a时，x=(b±√(b2-4a2))/(2)．
综上所述：当a、b满足条件b=2a时△BAE∽△CEB，此时x=(1)/(2)b（或x=a）；当a、b满足条件b>2a时△BAE∽△CEB，此时x=(b±√(b2-4a2))/(2)．