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已知(1-ab)^2=(2ab-a-b)×(a+b-2),求证ab中至少有一个是1
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已知(1-ab)^2=(2ab-a-b)×(a+b-2),求证ab中至少有一个是1
▼优质解答
答案和解析
设x=a+b y=ab
左边=1-2ab+(ab)^2=y^2-2y+1
右边=2ab(a+b)-(a+b)^2-4ab+2(a+b)=2xy-x^2-4y+2x
那么等价于x^2-2xy+y^2-2x+2y+1=0
配方得到(x-y-1)^2=0（自己展开看看就和上面的一样）
那么a+b-ab=1也就是ab-a-b+1=0
也就是(a-1)(b-1)=0
所以a,b中至少一个是1
左边=1-2ab+(ab)^2=y^2-2y+1
右边=2ab(a+b)-(a+b)^2-4ab+2(a+b)=2xy-x^2-4y+2x
那么等价于x^2-2xy+y^2-2x+2y+1=0
配方得到(x-y-1)^2=0（自己展开看看就和上面的一样）
那么a+b-ab=1也就是ab-a-b+1=0
也就是(a-1)(b-1)=0
所以a,b中至少一个是1
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