如图，▱ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．（1）试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；（2）证明：当旋转角

Question

如图，▱ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

5

，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．
（1）试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；
（2）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能请说明理由；如果能，求出此时AC绕点O顺时针旋转的角度．

Answer 1

（1）在▱ABCD中，AD ∥ BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COE中，

∠1=∠2

OA=OC

∠3=∠4

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；

（2）由题意，∠AOF=90°（如图2），
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
∠AOF=90° ，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB ∥ EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD ∥ BC，
即：AF ∥ BE，
∵AB ∥ EF，AF ∥ BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；

（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形（如图3）．
∵▱ABCD，AF=CE，
∴AD ∥ BC，AD=BC，
∴DF ∥ BE，DF=BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴▱BEDF是菱形，
∵AB⊥AC，
∴在△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC ² =AB ² +AC ² ，
∵AB=1，BC=

5

，
∴AC=

BC 2 -AB 2

=

5

2 -1 2

=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= (1)/(2) AC= (1)/(2) ×2=1，
∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，
∴∠1=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠2=∠BOF-∠1=90°-45°=45°，
即：旋转角为45°．