举出两个二阶矩阵A与B的例子,使得(AB)^2≠A^2B^2

Question

举出两个二阶矩阵A与B的例子,使得(AB)^2≠A^2B^2

Answer 1

(AB)² = ABAB,A²B² = AABB.
因此当A,B可逆,(AB)² ≠ A²B²等价于BA ≠ AB.
于是只需构造不可交换的可逆二阶矩阵A,B.
取A = [1,1;0,1],B = [1,0;1,1],易见A,B可逆.
而AB = [2,1;1,1],BA = [1,1;1,2],有BA ≠ AB.
进而有(AB)² ≠ A²B².