如图，△ABC中，∠BAC为锐角，以AB、AC向内作正△ABD、正△ACF，以BC为边向下作正△BCE，连接ED、EF．（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论．（2）三角形ABC满足什么条件，四边形ADEF为

Question

如图，△ABC中，∠BAC为锐角，以AB、AC向内作正△ABD、正△ACF，以BC为边向下作正△BCE，连接ED、EF．
（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论．
（2）三角形ABC满足什么条件，四边形ADEF为正方形？（直接写出结论即可）
（3）若∠BAC=30°，其他条件不变，连接AE，则线段AB、AC、AE之间具有怎样的数量关系？（直接写出结论即可）

Answer 1

（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由如下：在正△ABD，正△BCE中，
AB=BD，BC=BE，∠ABD=60°，∠CBE=60°，
∵∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°，
∠CBE=∠DBE+∠DBC=60°，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC与△DBE中，

AB＝BD

∠ABC＝∠DBE

BC＝BE

，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC=DE，
又∵△ACF是正三角形，
∴AC=AF，
∴AF=DE，
同理可证AD=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）若四边形ADEF为正方形，
则AF=AD，∠DAF=90°，
∵AF=AC，AD=AB，
∴AB=AC，
∵∠BAC+∠BAF=∠BAC+∠DAC=60°，
∴∠BAF=∠DAC=∠DAF-60°=90°-60°=30°，
∴∠BAC=60°-30°=30°，
∴当△ABC为顶角∠BAC=30°的等腰三角形时，四边形ADEF为正方形；

（3）根据（2）的结论，当∠BAC=30°时，∠DAF=90°，
∴四边形ADEF为矩形，
∴AE²=AB²+AC²．