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如图,△ABC中,∠BAC为锐角,以AB、AC向内作正△ABD、正△ACF,以BC为边向下作正△BCE,连接ED、EF.(1)判断四边形ADEF的形状,并证明你的结论.(2)三角形ABC满足什么条件,四边形ADEF为
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(1)判断四边形ADEF的形状,并证明你的结论.
(2)三角形ABC满足什么条件,四边形ADEF为正方形?(直接写出结论即可)
(3)若∠BAC=30°,其他条件不变,连接AE,则线段AB、AC、AE之间具有怎样的数量关系?(直接写出结论即可)
▼优质解答
答案和解析
(1)四边形ADEF是平行四边形.
理由如下:在正△ABD,正△BCE中,
AB=BD,BC=BE,∠ABD=60°,∠CBE=60°,
∵∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°,
∠CBE=∠DBE+∠DBC=60°,
∴∠ABC=∠DBE,
在△ABC与△DBE中,
,
∴△ABC≌△DBE(SAS),
∴AC=DE,
又∵△ACF是正三角形,
∴AC=AF,
∴AF=DE,
同理可证AD=EF,
∴四边形ADEF是平行四边形;
(2)若四边形ADEF为正方形,
则AF=AD,∠DAF=90°,
∵AF=AC,AD=AB,
∴AB=AC,
∵∠BAC+∠BAF=∠BAC+∠DAC=60°,
∴∠BAF=∠DAC=∠DAF-60°=90°-60°=30°,
∴∠BAC=60°-30°=30°,
∴当△ABC为顶角∠BAC=30°的等腰三角形时,四边形ADEF为正方形;
(3)根据(2)的结论,当∠BAC=30°时,∠DAF=90°,
∴四边形ADEF为矩形,
∴AE2=AB2+AC2.
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理由如下:在正△ABD,正△BCE中,
AB=BD,BC=BE,∠ABD=60°,∠CBE=60°,
∵∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°,
∠CBE=∠DBE+∠DBC=60°,
∴∠ABC=∠DBE,
在△ABC与△DBE中,
|
∴△ABC≌△DBE(SAS),
∴AC=DE,
又∵△ACF是正三角形,
∴AC=AF,
∴AF=DE,
同理可证AD=EF,
∴四边形ADEF是平行四边形;
(2)若四边形ADEF为正方形,
则AF=AD,∠DAF=90°,
∵AF=AC,AD=AB,
∴AB=AC,
∵∠BAC+∠BAF=∠BAC+∠DAC=60°,
∴∠BAF=∠DAC=∠DAF-60°=90°-60°=30°,
∴∠BAC=60°-30°=30°,
∴当△ABC为顶角∠BAC=30°的等腰三角形时,四边形ADEF为正方形;
(3)根据(2)的结论,当∠BAC=30°时,∠DAF=90°,
∴四边形ADEF为矩形,
∴AE2=AB2+AC2.
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