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如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.(1)求证:CD∥AB;(2)求证:△BDE≌△ACE;(3)若O为AB中点,求证:OF=12BE.
题目详情
如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532833752-6271.jpg)
(1)求证:CD∥AB;
(2)求证:△BDE≌△ACE;
(3)若O为AB中点,求证:OF=
BE.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532833752-6271.jpg)
(1)求证:CD∥AB;
(2)求证:△BDE≌△ACE;
(3)若O为AB中点,求证:OF=
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵BD=CD,
∴∠BCD=∠1;
∵∠1=∠2,
∴∠BCD=∠2;
∴CD∥AB.
(2)∵CD∥AB,∴∠CDA=∠3.
∵∠BCD=∠2=∠3,
∴BE=AE.
且∠CDA=∠BCD,
∴DE=CE.
在△BDE和△ACE中,
∵
.
∴△BDE≌△ACE(SAS);
(3)∵△BDE≌△ACE,
∴∠4=∠1,∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°-∠BCH;
又∵CH⊥AB,
∴∠2=90°-∠BCH;
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4,
∴AF=CF;
∵∠AEC=90°-∠4,∠ECF=90°-∠ACH,
又∵∠ACH=∠4,
∴∠AEC=∠ECF;
∴CF=EF;
∴EF=AF;
∵O为AB中点,
∴OF为△ABE的中位线;
∴OF=
BE.
∴∠BCD=∠1;
∵∠1=∠2,
∴∠BCD=∠2;
∴CD∥AB.
(2)∵CD∥AB,∴∠CDA=∠3.
∵∠BCD=∠2=∠3,
∴BE=AE.
且∠CDA=∠BCD,
∴DE=CE.
在△BDE和△ACE中,
∵
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∴△BDE≌△ACE(SAS);
(3)∵△BDE≌△ACE,
∴∠4=∠1,∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°-∠BCH;
又∵CH⊥AB,
∴∠2=90°-∠BCH;
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4,
∴AF=CF;
∵∠AEC=90°-∠4,∠ECF=90°-∠ACH,
又∵∠ACH=∠4,
∴∠AEC=∠ECF;
∴CF=EF;
∴EF=AF;
∵O为AB中点,
∴OF为△ABE的中位线;
∴OF=
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