已知：在正方形ABCD中，AB=2，点P是射线AB上的一点，联结PC、PD，点E、F分别是AB和PC的中点，联结EF交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPE的形状是（2）如图2，当点P在AB的延长线

Question

已知：在正方形ABCD中，AB=2，点P是射线AB上的一点，联结PC、PD，点E、F分别是AB和PC的中点，联结EF交PD于点Q．
（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPE的形状是___
（2）如图2，当点P在AB的延长线上时，设BP=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当点Q在边BC上时，求BP的长．

Answer 1

（1）△QPE的形状是等腰直角三角形，
理由：在正方形ABCD中，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∵点P与点B重合，
∴AP=PC，∠APC=90°，
∵点E、F分别是AB和PC的中点，
∴PE=(1)/(2)AP，PF=(1)/(2)PC，
∴PE=PF，
∴△QPE是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；

（2）延长BA到点M，使得AM=BP，连接CM，
∵AE=BE，
∴AE+AM=BE+BP，
即EM=EP，
∵PF=CF，
∴EF=(1)/(2)MC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBC=90°，AB=BC，
∵AB=2，BP=AM=x，
∴BM=2+x．
∴MC=√(BM2+BC2)=√(4+(x+2)2)，
∴EF=(1)/(2)√(x2+4x+8)，
∴y=(1)/(2)√(x2+4x+8)（x>0）；

（3）当点Q在边BC上时，由（2）可知EF∥MC，
∴∠M=∠QEB，
∵在△ADP和△BCM中，

AD=BC

∠PAD=∠MBC=90°

AP=BM

，
∴△ADP≌△BCM，
∴∠M=∠APD，
∴∠QEB=∠APD，
∴QE=QP，
∵QB⊥PE，
∴BP=BE=(1)/(2)AB=1．