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已知:在正方形ABCD中,AB=2,点P是射线AB上的一点,联结PC、PD,点E、F分别是AB和PC的中点,联结EF交PD于点Q.(1)如图1,当点P与点B重合时,△QPE的形状是(2)如图2,当点P在AB的延长线
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已知:在正方形ABCD中,AB=2,点P是射线AB上的一点,联结PC、PD,点E、F分别是AB和PC的中点,联结EF交PD于点Q.
(1)如图1,当点P与点B重合时,△QPE的形状是___
(2)如图2,当点P在AB的延长线上时,设BP=x,EF=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当点Q在边BC上时,求BP的长.
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(1)如图1,当点P与点B重合时,△QPE的形状是___
(2)如图2,当点P在AB的延长线上时,设BP=x,EF=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当点Q在边BC上时,求BP的长.
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▼优质解答
答案和解析
(1)△QPE的形状是等腰直角三角形,
理由:在正方形ABCD中,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∵点P与点B重合,
∴AP=PC,∠APC=90°,
∵点E、F分别是AB和PC的中点,
∴PE=
AP,PF=
PC,
∴PE=PF,
∴△QPE是等腰直角三角形;
故答案为:等腰直角三角形;
(2)延长BA到点M,使得AM=BP,连接CM,
∵AE=BE,
∴AE+AM=BE+BP,
即EM=EP,
∵PF=CF,
∴EF=
MC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠MBC=90°,AB=BC,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532833615-4238.jpg)
∵AB=2,BP=AM=x,
∴BM=2+x.
∴MC=
=
,
∴EF=
,
∴y=
(x>0);
(3)当点Q在边BC上时,由(2)可知EF∥MC,
∴∠M=∠QEB,
∵在△ADP和△BCM中,
,
∴△ADP≌△BCM,
∴∠M=∠APD,
∴∠QEB=∠APD,
∴QE=QP,
∵QB⊥PE,
∴BP=BE=
AB=1.
理由:在正方形ABCD中,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∵点P与点B重合,
∴AP=PC,∠APC=90°,
∵点E、F分别是AB和PC的中点,
∴PE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴PE=PF,
∴△QPE是等腰直角三角形;
故答案为:等腰直角三角形;
(2)延长BA到点M,使得AM=BP,连接CM,
∵AE=BE,
∴AE+AM=BE+BP,
即EM=EP,
∵PF=CF,
∴EF=
1 |
2 |
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠MBC=90°,AB=BC,
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∵AB=2,BP=AM=x,
∴BM=2+x.
∴MC=
BM2+BC2 |
4+(x+2)2 |
∴EF=
1 |
2 |
x2+4x+8 |
∴y=
1 |
2 |
x2+4x+8 |
(3)当点Q在边BC上时,由(2)可知EF∥MC,
∴∠M=∠QEB,
∵在△ADP和△BCM中,
|
∴△ADP≌△BCM,
∴∠M=∠APD,
∴∠QEB=∠APD,
∴QE=QP,
∵QB⊥PE,
∴BP=BE=
1 |
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