如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB•BD=BM•AB；（2）求证：AE⊥BE．

Question

如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．

（1）求证：EB•BD=BM•AB；
（2）求证：AE⊥BE．

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠EBM=∠C，
∴∠EBM=∠ABC，
∴∠ABE=∠DBM，
∵∠BAE=∠BDF，
∴△BEA∽△BDM，
∴(BE)/(BM)=(AB)/(BD)，
∴EB•BD=BM•AB；

（2）连接AD，
∵AB=AC，点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵(BE)/(BM)=(AB)/(BD)，∠ABD=∠EBM，
∴△ABD∽△EBM，
∴∠ADB=∠EMB=90°，
∴∠AEB=∠BMD=90°，
∴AE⊥BE．