若x>0,y>0,x+y+3=xy,求xy与x+y的取值范围

Question

若x>0,y>0,x+y+3=xy,求xy与x+y的取值范围

Answer 1

解由x+y+3=xy≤[（x+y）/2]^2
令t=x+y
则上式变为t+3≤t^2/4
即t^2≥4t+12
即t^2-4t-12≥0
即（t-6）（t+2）≥0
即t≥6或t≤-2（舍去）
即x+y≥6
故x+y的取值[6,正无穷大）

由x+y+3=xy
得xy-3=x+y≥2√xy
即xy-2√xy-3≥0
即（√xy-3）（√xy+1）≥0
即√xy≥3或√xy≤-1（舍去）
由√xy≥3
得xy≥9
故xy的范围是[9,正无穷大）.