已知实数x，y，z满足xy+2z=1x2+y2+z2=5则xyz的最小值为．

Question

已知实数x，y，z满足

xy+2z=1

x2+y2+z2=5

则xyz的最小值为___．

Answer 1

由xy+2z=1，可得z=(1-xy)/(2)=(1-t)/(2)．
∴5=x²+y²+((1-xy)/(2))2≥2|xy|+((1-xy)2)/(4)，化为：x²y²+6xy-19≤0，或：x²y²-10xy-19≤0．
由x²y²+6xy-19≤0，解得：0≤xy≤-3+2√(7)．
由x²y²-10xy-19≤0，解得：5-2√(11)≤xy≤0．
∴xyz=xy×(1-xy)/(2)=-(1)/(2)(xy-(1)/(2))2+(1)/(8)，
可得：经过比较利于二次函数的单调性可得：xy=5-2√(11)时，xyz取得最小值为9√(11)-32．
故答案为：9√(11)-32．