已知x,y,z都大于1,且互不相等的正整数,且xyz整除（xy-1）（xz-1）（yz-1）,列出所符合的x,y,z.超难!不会者,不要老思考,看别人的过程!学学吧!

Question

已知x,y,z都大于1,且互不相等的正整数,且xyz整除（xy-1）（xz-1）（yz-1）,列出所符合的x,y,z.
超难!
不会者,不要老思考,看别人的过程!
学学吧!

Answer 1

(xy-1)(yz-1)(zx-1) = (xyz)²-xyz(x+y+z)+xy+yz+zx-1 = xyz(xyz-x-y-z)+xy+yz+zx-1.
于是由xyz | (xy-1)(yz-1)(zx-1)得xyz | xy+yz+zx-1.
∵x, y, z > 1, ∴xy+yz+zx-1 > 0.
又∵xyz | xy+yz+zx-1,
∴1/x+1/y+1/z-1/(xyz)为正整数.
但x, y, z为大于1的整数, 有x, y, z ≥ 2,
∴1/x+1/y+1/z-1/(xyz) < 1/x+1/y+1/z ≤ 1/2+1/2+1/2 = 3/2.
∴1/x+1/y+1/z-1/(xyz) = 1.
若x, y, z均不小于3, 有1/x+1/y+1/z-1/(xyz) < 1/3+1/3+1/3 = 1, 矛盾.
∴x, y, z中有2, 不妨设z = 2.
代入得1/x+1/y+1/2-1/(2xy) = 1, 整理为2y+2x-1 = xy, 即(x-2)(y-2) = 3.
由x, y均为不小于2的整数, 有x-2 = 1或x-2 = 3.
解得x = 3, y = 5或x = 5, y = 3.
于是满足条件的(x,y,z)与(2,3,5)至多相差一个排列.
有疑问请追问.