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微分方程xy’+y=2√xy的通解
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微分方程xy’+y=2√xy的通解
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答案和解析
y'+y/x=2√(y/x)
令y/x=u,则y'=u+xu'
所以u+xu'+u=2√u
xu'=2√u-2u
du/(2√u-2u)=dx/x
两边积分
左边令√u=t
则左边=∫2tdt/(2t-2t^2)=∫dt/(1-t)=-ln|1-t|+C=-ln|1-√u|+C=-ln|1-√(xy)|+C
右边=ln|x|+C
所以1/(1-√(xy))=Cx
1-√(xy)=C/x
√(xy)=1-C/x
y=(1-C/x)^2/x
令y/x=u,则y'=u+xu'
所以u+xu'+u=2√u
xu'=2√u-2u
du/(2√u-2u)=dx/x
两边积分
左边令√u=t
则左边=∫2tdt/(2t-2t^2)=∫dt/(1-t)=-ln|1-t|+C=-ln|1-√u|+C=-ln|1-√(xy)|+C
右边=ln|x|+C
所以1/(1-√(xy))=Cx
1-√(xy)=C/x
√(xy)=1-C/x
y=(1-C/x)^2/x
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