微分方程y=xy'+f(y'),则函数y=cx+f(c)(c为任意常数)是该方程的-----------?通解.

Question

微分方程y=xy'+f(y'),则函数y=cx+f(c)(c为任意常数)是该方程的-----------?通解.

Answer 1

因为y=xy'+f(y'),两边对x求导
y‘=y’+xy‘’+f‘(y')y''
y''(x+f'(y'))=0,y''=0或者x+f'(y')=0
若y''=0,则y'=c（常数的导数为0）
把y'代入微分方程就得通解y=cx+f(c)
若x+f'(y')=0,f'(y')=-x,两边对y’积分得到f(y')=-xy‘+c
代入微分方程得到y=c,这是通解里的c=0时,y=f(0),这一特解.
所以y=cx+f(c)方程的通解.