微分方程xy′+y（lnx-lny）=0满足y（1）=e3的解为．

Question

微分方程xy′+y（lnx-lny）=0满足y（1）=e³的解为______．

Answer 1

依题意并整理
(dy)/(dx)＝(y)/(x)ln(y)/(x)
作变换y=ux，则：
(dy)/(dx)＝x(du)/(dx)+u
∴x(du)/(dx)+u＝ulnu
∴(du)/(u(lnu−1))＝(dx)/(x)
∴(dlnu)/(lnu−1)＝(dx)/(x)
两边积分，可得：
ln（lnu-1）=lnx+C₁
∴lnu-1=Ce^x，C＞0
回代u＝(y)/(x)
y=xe^Cx+1
∵y（1）=e³
∴C=2
∴y=xe^2x+1