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(2014•潍坊)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,以AB为直径作⊙O,恰与另一腰CD相切于点E,连接OD、OC、BE.(1)求证:OD∥BE;(2)若梯形ABCD的面积是48,设OD=x,OC=y,且x+y=14,求CD的长
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(2014•潍坊)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,以AB为直径作⊙O,恰与另一腰CD相切于点E,连接OD、OC、BE.
(1)求证:OD∥BE;
(2)若梯形ABCD的面积是48,设OD=x,OC=y,且x+y=14,求CD的长.
(1)求证:OD∥BE;
(2)若梯形ABCD的面积是48,设OD=x,OC=y,且x+y=14,求CD的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图,连接OE,
∵CD是⊙O的切线,
∴OE⊥CD,
在Rt△OAD和Rt△OED,
,
∴Rt△OAD≌Rt△OED(SAS)
∴∠AOD=∠EOD=
∠AOE,
在⊙O中,∠ABE=
∠AOE,
∴∠AOD=∠ABE,
∴OD∥BE(同位角相等,两直线平行).
(2)与(1)同理可证:Rt△COE≌Rt△COB,
∴∠COE=∠COB=
∠BOE,
∵∠DOE+∠COE=90°,
∴△COD是直角三角形,
∵S△DEO=S△DAO,S△OCE=S△COB,
∴S梯形ABCD=2(S△DOE+S△COE)=2S△COD=OC•OD=48,
即xy=48,
又∵x+y=14,
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=142-2×48=100,
在Rt△COD中,
CD=
=
=
=10,
∴CD=10.
∵CD是⊙O的切线,
∴OE⊥CD,
在Rt△OAD和Rt△OED,
|
∴Rt△OAD≌Rt△OED(SAS)
∴∠AOD=∠EOD=
1 |
2 |
在⊙O中,∠ABE=
1 |
2 |
∴∠AOD=∠ABE,
∴OD∥BE(同位角相等,两直线平行).
(2)与(1)同理可证:Rt△COE≌Rt△COB,
∴∠COE=∠COB=
1 |
2 |
∵∠DOE+∠COE=90°,
∴△COD是直角三角形,
∵S△DEO=S△DAO,S△OCE=S△COB,
∴S梯形ABCD=2(S△DOE+S△COE)=2S△COD=OC•OD=48,
即xy=48,
又∵x+y=14,
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=142-2×48=100,
在Rt△COD中,
CD=
OC2+OD2 |
x2+y2 |
100 |
∴CD=10.
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