如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）如果AC=BD，AD=22BD，设BD=a，求BC的长．

Question

如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．

（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=2√(2)BD，设BD=a，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵(AB)/(AC)=(BD)/(AE)=3，
∴△ABD∽△CAE；（4分）
（2）连接BC，
∵AB=3AC=3BD，AD=2√(2)BD，
∴AD²+BD²=8BD²+BD²=9BD²=AB²，
∴∠D=90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=(1)/(3)BD，EC=(1)/(3)AD=(2)/(3)√(2)BD，AB=3BD，
∴在Rt△BCE中，BC²=（AB+AE）²+EC²
=（3BD+(1)/(3)BD）²+（(2√(2))/(3)BD）²=(108)/(9)BD²=12a²，
∴BC=2√(3)a．（6分）