如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上．（1）如图1，点A与点C关于y轴对称，点E、F分别是线段AC、AB上的点（点E不与点A、C重合），且∠BEF=∠BAO．若∠BAO=2∠OBE，求证：AF=CE；

Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上．
（1）如图1，点A与点C关于y轴对称，点E、F分别是线段AC、AB上的点（点E不与点A、C重合），且∠BEF=∠BAO．若∠BAO=2∠OBE，求证：AF=CE；
（2）如图2，若OA=OB，在点A处有一等腰△AMN绕点A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°．连接BN，点P为BN的中点，试猜想OP和MP的数量关系和位置关系，说明理由．

Answer 1

证明：（1）如图1，

设∠OBE=α，∠AEF=β，
∴∠BAO=∠BEF=2α，
∵点A、C关于y轴对称，
∴BA=BC，
∴∠BAO=∠BCO=2α
∵∠AEB=2α+β=∠BCO+∠EBC
∴∠EBC=β，
即∠EBC=∠AEF
∵∠BFE=∠BAO+∠FEA=2α+β
又∠ABO=∠CBO=α+β
∴∠FBE=α+β+α=2α+β
∴∠BFE=∠FBE
∴EB=EF，
在△AEF和△CBE中

∠AEF=∠CBE

∠FAE=∠ECB

EF=BE

∴△AEF≌△CBE（AAS）
∴AF=CE
（2）OP=MP且OP⊥MP，
理由如下：
延长MP至C，且使PC=MP，连接BC、MO，延长AM交BC于D，连接CO，NO，

∵点P为BN的中点，
∴PN=PB，
在△MPN和△CPB中

MP=CP

∠MPN=∠CPB

PN=PB

∴△MPN≌△CPB（SAS）
∴BC=MN=AM，∠MNP=∠CBP，
∴MN∥BC，
∵∠AMN=90°
∴AD⊥BC，
∴∠MAO=∠CBO，
∴∠MOA=∠COB，MO=CO，
∴∠MOC=∠MOB+∠BOC=∠MOB+∠MOA=∠AOB=90°
∴△MOC为等腰直角三角形，
∵MP=CP，
∴OP⊥MP且OP=MP．