如图,已知点A(2,0),点B在y轴正半轴上,且OB=1/2OA,将点B绕点A顺时针方向旋转90度至点C,旋转前后的点B和点C都在抛物线y=-5/6x²+bx+c上（1）球点B,C的坐标；（2）求该抛物线解析式；（3）连接AC,该

Question

如图,已知点A(2,0),点B在y轴正半轴上,且OB=1/2OA,将点B绕点A顺时针方向旋转90度至点C,旋转前后的点B和点C都在抛物线y=-5/6x²+bx+c上
（1）球点B,C的坐标；
（2）求该抛物线解析式；
（3）连接AC,该抛物线上是否存在异于点B的点D,使得点D与AC构成以AC为直角边的三角形为等腰RT三角形?如果存在,求出所有符合条件的点D 的坐标；如果不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）∵点A（2,0）,
∴OA=2,
∴OB=1/2*OA=1,
∵点B在y轴正半轴上,
∴点B的坐标为（0,1）；
过C作CD⊥x轴,垂足为D,
∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°,
又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°,
∴△AOB≌△CDA,
∴OA=CD=2,OB=AD=1,
∴OD=OA+AD=3,又C为第一象限的点,
∴点C的坐标为（3,2）；
（2）∵点B和点C都在抛物线y=-5/6x²+bx+c上,
∴把B（0,1）,C（3,2）代入,
得c=1且-5/6×9+3b+c=2 
解得b=17/6,c=1
则抛物线的解析式为y=-5/6*x²+17/6*x+1
（3）该抛物线上存在点P,△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形,分三种情况：
（i）若以AC为直角边,点A为直角顶点,则延长BA至点P1,使得P1A=CA,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴,如图所示,

∵AP1=CA=AB,∠MAP1=∠OAB,∠P1MA=∠OBA=90°,
∴△AMP1≌△AOB,
∴AM=AO=2,P1M=OB=1,
∴OM=OA+AM=4,
∴P1（4,-1）,经检验点P1在抛物线y=-5/6*x²+17/6*x+1

ii）若以AC为直角边,点C为直角顶点,则过点C作CP2⊥AC,且使得CP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作y轴的平行线,过点C作x轴的平行线,两线交于点N,如图,

同理可证△CP2N≌△ABO,
∴CN=OA=2,NP2=OB=1,
又∵C的坐标为（3,2）,
∴P2（1,3）,经检验P2也在抛物线y=-5/6*x²+17/6*x+1

（iii）若以AC为直角边,点C为直角顶点,则过点C作CP3⊥AC,且使得CP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作x轴的平行线,过点C作y轴的平行线,两线交于点H,如图,

同理可证△CP3H≌△BAO,
∴HP3=OA=2,CH=OB=1,
又∵C的坐标为（3,2）,
∴P3（5,1）,经检验P3不在抛物线y=-5/6*x²+17/6*x+1

则符合条件的点有P1（4,-1）,P2（1,3）两点．