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如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P．过P作PH⊥OA于H，设I为△OPH的内心，（1）求∠PIO的度数；（2）连结AI、AP，请你猜想△API是什么样的特殊三角形，并证明你的结论

题目详情

如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一动点P．过P作PH⊥OA于H，设I为△OPH的内心，
作业搜

（1）求∠PIO的度数；
（2）连结AI、AP，请你猜想△API是什么样的特殊三角形，并证明你的结论；
（3）当点P从点A运动到点B时，请你画出内心I所经过的路径l，并直接写出l的长度．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵I是△OPH的内心，则PI和OI是∠HPO和∠POH的角平分线，
∴∠OPI+∠POI=

（∠HPO+∠POH）=

×90°=45°，
∴∠PIO-180°-45°=135°；
（2）连接AI（如图1）．

在△OPI和△OAI中，

OP=OA

∠POI=∠AOI

OI=OI

，
∴△OPI≌△OAI，
∴AI=PI，∠AIP=∠PIO=135°，
∴∠PIA=360°-135°-135°=90°．
即△API是等腰直角三角形；
（3）如图，连OA'、OI，PI（如图2），
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-

（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO=90°，

∴∠PIO=180°-

（∠HOP+∠OPH）=180°-

（180°-90°）=135°，
又∵OP=OA，OI公共，
而∠IOP=∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO=∠PIO=135°，
所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过A、I、O三点作 O′，如图，连O′A，O′O，
在优弧AO取点P，连PA，PO，
∵∠AIO=135°，
∴∠APO=180°-135°=45°，
∴∠AOO=90°，而OA=2cm，
∴O′O=

OA=

×2=

，
∴弧OA的长=

90π

180

（cm），
所以内心I所经过的路径弧OA长为