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如图:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点为D,与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)求a,b的值;(2)写出顶点C的坐标为;(3)
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(1)求a,b的值;
(2)写出顶点C的坐标为______;
(3)计算四边形ACDO的面积;
(4)在y轴上是否存在点F,使得△ACF是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)将A(-3,0)、B(1,0),代入y=ax2+bx+3,
,
解得:
,
故a=-1,b=-2,
(2)∵a=-1,b=-2,
∴y=-x2-2x+3,
=-(x+1) 2+4,
故顶点C的坐标为(-1,4);
故答案为:(-1,4);
(3)如图1所示:∵y=-x2-2x+3,
当x=0,得出y=3,
∴D点坐标为:(0,3),
∵C的坐标为(-1,4),A(-3,0),
∴AH=2,CH=4,HO=1,OD=3,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532852885-4959.jpg)
∴S四边形ACDO=S△ACH+S四边形CHOD=
×2×4+
(3+4)×1=
;
(4)如图2,假设在y轴上存在满足条件的点F,过点C作CE⊥y轴于点E,
由∠CFA=90°得,∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠1.又∵∠CED=∠FOA=90°,
∴△CEF∽△FOA,∴
=
,
设F(0,c),则
=
.
变形得c2-4c+3=0,
解得:c1=3,c2=1.
综合上述:在y轴上存在点F(0,3)或(0,1),使△ACF是以AC为斜边的直角三角形.
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|
解得:
|
故a=-1,b=-2,
(2)∵a=-1,b=-2,
∴y=-x2-2x+3,
=-(x+1) 2+4,
故顶点C的坐标为(-1,4);
故答案为:(-1,4);
(3)如图1所示:∵y=-x2-2x+3,
当x=0,得出y=3,
∴D点坐标为:(0,3),
∵C的坐标为(-1,4),A(-3,0),
∴AH=2,CH=4,HO=1,OD=3,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532852885-4959.jpg)
∴S四边形ACDO=S△ACH+S四边形CHOD=
1 |
2 |
1 |
2 |
15 |
2 |
(4)如图2,假设在y轴上存在满足条件的点F,过点C作CE⊥y轴于点E,
由∠CFA=90°得,∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠1.又∵∠CED=∠FOA=90°,
∴△CEF∽△FOA,∴
CE |
EF |
FO |
AO |
设F(0,c),则
1 |
4−c |
c |
3 |
变形得c2-4c+3=0,
解得:c1=3,c2=1.
综合上述:在y轴上存在点F(0,3)或(0,1),使△ACF是以AC为斜边的直角三角形.
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