如图，已知AB∥CD，点M，N分别是AB，CD上两点，点G在AB，CD之间．（1）求证：∠AMG+∠CNG=∠MGN；（2）如图②，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E

Question

如图，已知AB∥CD，点M，N分别是AB，CD上两点，点G在AB，CD之间．
（1）求证：∠AMG+∠CNG=∠MGN；
（2）如图②，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E+∠G=90°，求∠AME的度数；
（3）如图③，若点P是（2）中的EM上一动点，PQ平分∠MPQ．NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ∥NH，直接写出∠JPQ的度数．

Answer 1

（1）证明：如图①，过点G作GE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠AMG=∠MGE，∠CNG=∠NGE，
∴∠AMG+∠CNG=∠MGN；

（2）如图②，设FG与NE交点为H点，AB与NE的交点I，
在△HNG中，
∵∠G+∠HNG+∠NHG=180°
∴∠HNG=∠AIE=∠IHM+∠IMH=（∠E+∠EMF）+∠IMH=∠E+（∠EMF+∠IMH ）=∠E+∠AME
∠NHG=∠IHM=∠E+∠EMF=∠E+(1)/(2)∠AME
∴∠G+∠HNG+∠NHG=∠G+（∠E+∠AME）+（∠E+(1)/(2)∠AME）=180° （∠G+2∠E）+(3)/(2)∠AME=180°，即90°+(3)/(2)∠AME=180°，
∴∠AME=60°；

（3）∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，
∴∠JPQ=∠JPN-(1)/(2)∠MPN
=(1)/(2)（∠ENC-(1)/(2)∠MPN）
=(1)/(2)（∠AOE-(1)/(2)∠MPN）
=(1)/(2)∠AME
=30°．