求解一题证明题!高数设f(x)与g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,f(a)=f(b)=0,且g(x)不等于0,x属于[a,b],那么在(a,b)内至少有一点c,使f`(c)g(c)=g`(c)f(c).注:f`(x)是指f(x)的导数!怎么证明?能具体点吗？是不是运

Question

求解一题证明题!高数
设f(x)与g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,f(a)=f(b)=0,且g(x)不等于0,x属于[a,b],那么在(a,b)内至少有一点c,使f`(c)g(c)=g`(c)f(c).
注:f`(x)是指f(x)的导数!
怎么证明?
能具体点吗？
是不是运用罗尔定理得出至少有一点c使f'(c)=0,也就是f(c)为一常数，(f(c)/g(c))'=0,g^2(c)不是0,那他为什么要给出f(a)=f(b)=0呢？为什么要等于0，好像用不到！

Answer 1

设函数r(x)=f(x)/g(x),x在[a,b]
由于f(x),g(x)在[a,b]连续且g(x)不为0,所以r(x)是[a,b]上的连续函数
又由于r(a)=r(b)=0,
故在(a,b)内存在一点c,使得r(x)的导数在c点为0
而r'(x)=[f'(x)g(x)－f(x)g(x)']/[g(x)]^2
所以r'(c)=0得到f'(c)g(c)－f(c)g(c)'=0