如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上．（1）若∠MBN=45°且∠ABM=∠CBN，则易证．（选择正确答案填空）①AM+CN>MN；②2（AM+CN）=MN；③MN=AM+CN．（2

Question

如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上．
（1）若∠MBN=45°且∠ABM=∠CBN，则易证___．（选择正确答案填空）
①AM+CN>MN；② √(2)（AM+CN）=MN；③MN=AM+CN．
（2）若∠MBN= (1)/(2)∠ABC，在（1）中线段MN、AM、CN之间的数量关系是否仍然成立？若成立给予证明，若不成立探究出它们之间关系．
【拓展】如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC与∠ADC互补．点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN= (1)/(2)∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请写出猜想并证明．

Answer 1

（1） 设BD于MN交于点H，如图1（1），
∵BD为正方形ABCD的正方形，
∴∠ABH=∠CBH=45°，BA=BC，
∵∠MBN=45°，∠ABM=∠CBN，
∴∠ABM=∠HBM=∠HBN=∠CBN，
在△ABM和△CBN中

∠A=∠C

AB=CB

∠ABM=∠CBN

，
∴△ABM≌△CBN，
∴BM=BN，AM=CN，
而∠HBM=∠HBN，
∴BH⊥MN，
∴MA=MH，NH=NC，
∴AM=MH=HN=NC，
∴MN=AM+CN；
故答案为③；
（2） 在（1）中线段MN、AM、CN之间的数量关系仍然成立．理由如下：
把△BAM绕点B顺时针旋转90°得到△BCP，如图1（2），
∴BM=BP，AM=CP，∠MBP=90°，∠BCP=∠A=90°，
∵∠BCP+∠BCN=180°，
∴点P在DC的延长线上，
∴NC+CP=NP，
∵∠MBN=(1)/(2)∠ABC=45°，
∴∠NBP=45°，
在△BNM和△BNP中

BM=BP

∠MBN=∠PBN

BN=BN

，
∴△BNM≌△BNP，
∴MN=NP，
∴MN=CP+CN=AM+CN；
【拓展】 如图2，∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BAD+∠BAM=180°，
∴∠BAM=∠BCD，
∵AB=BC，
∴把△BAM绕点B顺时针旋转90°得到△BCQ，
∴∠BAM=∠BCQ，BM=BQ，∠MBQ=∠ABC，
∴∠BCQ=∠BCD，
∴点Q在CN上，
∴CN=CQ+MQ=AM+NQ，
∵∠MBN=(1)/(2)∠ABC，
∴∠MBN=(1)/(2)∠MBQ，
∴∠MBN=∠QBN，
在△BMN和△BQN中

BM=BQ

∠MBN=∠QBN

BN=BN

，
∴△BMN≌△BQN，
∴MN=QN，
∴CN=AM+MN，
即MN=CN-AM．