已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP<PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分

Question

已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP<PD）
（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．
①求证：PG=PF；      ②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

Answer 1

（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF=∠ADP=45°，
∴△HPD为等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠PDF=45°，
在△HPG和△DPF中，
∵

∠PHG=∠PDF

PH=PD

∠GPH=∠FPD

，
∴△HPG≌△DPF（ASA），
∴PG=PF；
②结论：DG+DF=√(2)DP，
由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，
∴HD=√(2)DP，HG=DF，
∴HD=HG+DG=DF+DG，
∴DG+DF=√(2)DP；

（2）不成立，数量关系式应为：DG-DF=√(2)DP，
如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，

∵PF⊥PG，
∴∠GPF=∠HPD=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=√(2)DP，
∴∠GHP=∠FDP=180°-45°=135°，
在△HPG和△DPF中，
∵

∠GPH=∠FPD

∠GHP=∠FDP

PH=PD

∴△HPG≌△DPF，
∴HG=DF，
∴DH=DG-HG=DG-DF，
∴DG-DF=√(2)DP．