已知：如图，四边形ABCD为正方形，E为CD边上的一点，连接AE，并以AE为对称轴，作与△ADE成轴对称的图形△AFE，延长EF（或FE）交直线BC于G．（1）求证：DE+BG=EG；∠EAG=45°；（2）设AB=1，GF=m，FE

Question

已知：如图，四边形ABCD为正方形，E为CD边上的一点，连接AE，并以AE为对称轴，作与△ADE成轴对称的图形△AFE，延长EF（或FE）交直线BC于G．
（1）求证：DE+BG=EG；∠EAG=45°；
（2）设AB=1，GF=m，FE=n，求m+n+mn的值；
（3）若将条件中的“E为CD边上的一点”改为“E为射线CD上的一点”，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

如图1，∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴△ADE≌△AGE
∴AD=AF=AB，DE=FE，∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=∠AFG=90°=∠B，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，

AB=AF

AG=AG

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=(1)/(2)∠BAD=45°，
∴GE=GF+EF=BG+DE；
（2）如图1，设AB=1，GF=m，FE=n，则EF=m+n，CE=1-m，CF=1-n，
∵∠C=90°，
∴（1-m）²+（1-n）²=（m+n）²，
整理得：m+n+mn=1；
（3）EF=BF+DE不成立，
理由：如图2，此时，EF=BF-DE，∠EAF=45°成立．
同（1）有△ADE≌△AGE，Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴DE=FE，GB=GF，∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，
∴GE=GF-EF=BG-DE，
∠GAE=∠FAG-∠FAE=(1)/(2)∠BAD=45°．