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已知:如图,四边形ABCD为正方形,E为CD边上的一点,连接AE,并以AE为对称轴,作与△ADE成轴对称的图形△AFE,延长EF(或FE)交直线BC于G.(1)求证:DE+BG=EG;∠EAG=45°;(2)设AB=1,GF=m,FE
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(1)求证:DE+BG=EG;∠EAG=45°;
(2)设AB=1,GF=m,FE=n,求m+n+mn的值;
(3)若将条件中的“E为CD边上的一点”改为“E为射线CD上的一点”,则(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
如图1,∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置,
∴△ADE≌△AGE
∴AD=AF=AB,DE=FE,∠DAE=∠FAE,∠D=∠AFE=∠AFG=90°=∠B,
在Rt△ABG和Rt△AFG中
,
,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
∴GB=GF,∠BAG=∠FAG,
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=
∠BAD=45°,
∴GE=GF+EF=BG+DE;
(2)如图1,设AB=1,GF=m,FE=n,则EF=m+n,CE=1-m,CF=1-n,
∵∠C=90°,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/29/1532852915-2862.jpg)
∴(1-m)2+(1-n)2=(m+n)2,
整理得:m+n+mn=1;
(3)EF=BF+DE不成立,
理由:如图2,此时,EF=BF-DE,∠EAF=45°成立.
同(1)有△ADE≌△AGE,Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴DE=FE,GB=GF,∠DAE=∠FAE,∠BAG=∠FAG,
∴GE=GF-EF=BG-DE,
∠GAE=∠FAG-∠FAE=
∠BAD=45°.
∴△ADE≌△AGE
∴AD=AF=AB,DE=FE,∠DAE=∠FAE,∠D=∠AFE=∠AFG=90°=∠B,
在Rt△ABG和Rt△AFG中
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∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
∴GB=GF,∠BAG=∠FAG,
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=
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∴GE=GF+EF=BG+DE;
(2)如图1,设AB=1,GF=m,FE=n,则EF=m+n,CE=1-m,CF=1-n,
∵∠C=90°,
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∴(1-m)2+(1-n)2=(m+n)2,
整理得:m+n+mn=1;
(3)EF=BF+DE不成立,
理由:如图2,此时,EF=BF-DE,∠EAF=45°成立.
同(1)有△ADE≌△AGE,Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴DE=FE,GB=GF,∠DAE=∠FAE,∠BAG=∠FAG,
∴GE=GF-EF=BG-DE,
∠GAE=∠FAG-∠FAE=
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