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如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,以D为顶点作∠EDF=90°,DE、DF分别交AB、AC于E、F,且BE2+CF2=EF2,求证:△ABC为直角三角形.
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如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,以D为顶点作∠EDF=90°,DE、DF分别交AB、AC于E、F,且BE2+CF2=EF2,求证:△ABC为直角三角形.
▼优质解答
答案和解析
证明:延长FD到点G,使DG=DF,连接BG,
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
在△CDF和△BDG中,
,
∴△CDF≌△BDG(SAS),
∴∠C=∠DBG,CF=BG,
∴CF∥BG,
∵DF=DG,ED⊥FD,
∴EF=EG,
∵BE2+CF2=EF2,
∴BG2+BE2=FG2,
∴∠EBG=90°,
∵BG∥CF,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
在△CDF和△BDG中,
|
∴△CDF≌△BDG(SAS),
∴∠C=∠DBG,CF=BG,
∴CF∥BG,
∵DF=DG,ED⊥FD,
∴EF=EG,
∵BE2+CF2=EF2,
∴BG2+BE2=FG2,
∴∠EBG=90°,
∵BG∥CF,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
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